Analyse - Variant 1

In deze sectie wordt een variant van het som en product raadsel aan een analyse onderworpen om er achter te komen wat S en P aan kennis over de mogelijke getallenparen bezitten bij elke stap. Ter illustratie wordt de uitvoer van het programma gebruikt. Elders op de webpage is beschreven hoe de grafische weergave gelezen dient te worden.

We beschouwen het volgende raadsel:

	S:	Ik weet dat jij niet weet wat de getallen zijn.
	P:	Dan weet ik het nu wel.
	S:	Ah, ik heb ze ook.

De gezamelijke kennis van S en P

De unieke oplossing van dit raadsel is het getallenpaar (4,13), zie ook het voorbeeld van het gebruik van het programma. Dat wil zeggen dat P weet dat het product 52 is, en S weet dat de som 17 is. De werkelijke situatie is hiernaast weergegeven. De horizontale verbindingen geven aan dat P niet weet of de som 17 is of 28 (dat hoort bij het paar (2,26)). De verticale verbindingen geven aan dat S niet of het product 30, 42, 52, 60, 66, 70 of 72 is.

Mogelijke werelden van S en P

Echter, P weet alleen dat óf S weet dat de som 17 is, óf S weet dat de som 28 is. Dus P weet niet dat S de 7 producten die hiervoor opgesomd zijn voor mogelijk houdt. Met andere woorden, de kennis van S is geen algemene kennis. Hetzelfde geldt voor de kennis van P. De figuur hiernaast breidt de vorige figuur uit met wat de spelers S en P voor mogelijk houden dat hun medespeler voor mogelijk houdt. De figuur kan verder worden uitgebreid dan deze 2 niveaus (P denkt dat S denkt dat (x,y) een mogelijke oplossing is). Echter, om het figuur niet te ingewikkeld te maken, en omdat voor de illustratie van deze variant 2 niveaus voldoende is, wordt op dit moment verder geredeneerd met deze figuur.

Merk op dat de wereld met som 17 en product 52 de werkelijke wereld is. In deze wereld weten beide spelers niet wat het getallenpaar is. En ze weten ook van elkaar dat ze niet weten wat het getallenpaar is. Maar daar houdt het op. Dat wil zeggen, P weet niet dat S weet dat P het getallenpaar niet kan afleiden. P houdt het namelijk voor mogelijk dat de som 28 is. Als dit het geval zou zijn, zou S twee mogelijke waarden voor het product hebben, namelijk 52 en 75. Maar er is maar één getallenpaar dat binnen de grenzen van het raadsel product 75 geeft, namelijk (3,25).
Dus als de som 28 zou zijn, dan zou S niet weten dat P het getallenpaar niet kan afleiden. Hieruit volgt dat P niet weet dat S weet dat P het getallenpaar niet kan afleiden. Dit is dus geen algemene kennis of common knowledge.

Situatie na de eerste announcement

Na de eerste announcement, waarin S aangeeft dat hij weet dat P het getallenpaar niet weet, kan P afleiden dat de som niet 28 kan zijn (vanwege bovenstaande redenatie). In de nieuwe situatie, die is afgebeeld in de figuur hiernaast, weet P de som van de getallen. Aangezien de som en het product het getallenpaar identificeren, kan hij dit paar ook afleiden. Opmerkelijk hierbij is dat P de oplossing weet omdat S heeft opgemerkt dat P de oplossing niet kan weten. Na de uitspraak is deze dus onwaar geworden; S weet niet meer dat P de oplossing niet kan weten, en juist omdat hij dat heeft gezegd.

De figuur hiernaast laat ook zien dat de enige mogelijkheid waarin P weet wat de oplossing is, de situatie is waarin het product 52 is. Dit is namelijk de enige wereld die geen horizontale verbindingen heeft. S is hiervan op de hoogte, dus wanneer P dus aangeeft dat hij de oplossing heeft, weet S ook wat de oplossing is. Op deze manier komen S en P tot de oplossing van het raadsel. Hoe de lezer van het raadsel tot de oplossing kan komen is beschreven in het voorbeeld van het gebruik van het programma.