Appendix

De kans dat een bericht aankomt binnen één tijdstap is p1, binnen twee tijdstappen p2, binnen drie tijdstappen p3, enz. Aangezien de kansen dat een bericht aankomt binnen een klein tijdsinterval kleiner is dan binnen een groot tijdsinterval is p1 < p2 < p3…

De kans dat een bericht aankomt binnen één tijdstap is voor generaal A gelijk aan r/s en voor generaal B gelijk aan t/u; r, s, t, u  . De kans dat een bericht überhaupt aankomt, is voor generaal A gelijk aan c1 en voor generaal B gelijk aan c2; c1, c2  [0,1].

De kans dat een bericht bezorgd wordt van generaal A naar generaal B binnen k tijdstappen is gelijk aan:

De kans dat een bericht wordt bezorgd van generaal A naar generaal B én een bevestiging van generaal B wordt ontvangen door generaal A binnen k tijdstappen is gelijk aan:

 

Voor:

  1. de kans dat een bericht wordt bezorgd van generaal B naar A binnen k tijdstappen en
  2. de kans dat een bericht wordt bezorgd van generaal B naar generaal A én een bevestiging van generaal A wordt ontvangen door generaal B binnen k tijdstappen

moet men i.p.v. r/s, t/u invullen en andersom en i.p.v. c1, c2 en andersom. 

 

Strategie 1

Een generaal kiest voor de grootste kans dat een aanval succesvol is.

Als er niet om een bevestiging wordt gevraagd is deze kans:



Als er wel om een bevestiging wordt gevraag is deze kans:

Omdat c1 en c2 waarden zijn tussen in de range [0-1] en r, s, t, u   is pk altijd groter dan qk.
Ongeacht de parameters (c1, c2, r/s, t/u) zal een generaal als hij deze strategie hanteert nooit om een bevestiging van een verstuurd bericht vragen.

Strategie 2

Een generaal kiest voor de kleinste kans dat een aanval mislukt.

Als er niet om een bevestiging wordt gevraagd is deze kans:

Als er wel om een bevestiging wordt gevraag is deze kans:

Stel de parameters zijn c1 = 3/4, c2 = 1/10,  r/s = 3/4, t/u = 11/16 en de aanval moet plaatsvinden op tijdstap 3.
1 – pk levert dan ongeveer 0.26 op en pk-1 – qk levert dan ongeveer 0.64 op. Bij deze parameters zal generaal A als hij strategie 2 hanteert niet om een bevestiging vragen omdat de kans op een mislukte aanval dan kleiner is.

Ga nu zelf na dat bij de parameters c1 = 3/4, r/s = 1/4 en de aanval op tijdstap 3, generaal A, ongeacht de parameters van generaal B, wel om een bevestiging zal vragen als hij strategie 2 hanteert.

Strategie 3

een generaal kiest voor de grootste kans dat een aanval succesvol is gegeven het feit dat de aanval gaat plaatsvinden.

Als er niet om een bevestiging wordt gevraagd is deze kans:



Als er wel om een bevestiging wordt gevraag is deze kans:

Stel de parameters zijn c1 = 3/4, c2 = 3/4,  r/s = 1/4, t/u = 3/4 en de aanval moet plaatsvinden op tijdstap 3.
pk levert dan ongeveer 0.43 op en qk/ pk-1 levert dan ongeveer 0.64 op. Bij deze parameters zal generaal A als hij strategie 3 hanteert wel om een bevestiging vragen omdat de kans op een succesvolle aanval, gegeven dat deze gaat plaatsvinden dan het grootst is.

Stel de parameters zijn c1 = 3/4, c2 = 1/10,  r/s = 3/4, t/u = 11/16 en de aanval moet plaatsvinden op tijdstap 3.
pk levert dan ongeveer 0.74 op en qk/ pk-1 levert dan ongeveer 0.09 op. Bij deze parameters zal generaal A als hij strategie 3 hanteert niet om een bevestiging vragen omdat de kans op een succesvolle aanval, gegeven dat deze gaat plaatsvinden dan het grootst is.