Robert-Reinder Nederhoed

De verspreiding van feiten en roddels binnen groepen personen.

Uitwerking van het projectje ter afronding van het vak ‘Epistemische Logica’

Inleiding

Binnen groepen wordt complex met kennis en vermoedens over bekenden omgegaan. Hoe vaak wordt iets wel verteld met als inleiding: "Ik mag dit eigenlijk niet vertellen, maar..." of "Dit moet je echt voor je houden, maar wist je dat..."? We weten veel over onze vrienden en hun vrienden, vaak meer dan zij zich realiseren. We vergeten vaak dat dat andersom ook zo is...

Met dit afsluitende project wil ik proberen om een beeld te schetsen van relaties binnen een groep en van hoe informatie zich verspreidt over de leden van een groep.

De relatie die 2 personen hebben, bepaalt wat ze elkaar vertellen. Relaties die voor kunnen komen zijn bijvoorbeeld vriend, vijand, verkering of beste vriend. Alle mannelijk danwel vrouwelijk uiteraard.

Het gevolg van een relatie is dat een persoon de ander iets wel of niet verteld (en vice versa). De inhoud van een feit (Over wie gaat het? Is het negatief of positief?) blijkt van groot belang te zijn bij de overdracht van feiten via de verschillende relaties. (Ga maar na...)

Om het interessant te maken praten we over feiten die eigenlijk geheim dienen te blijven. Dus de persoon over wie het geheim gaat ziet het liever niet bekend worden en zal het alleen die personen vertellen die hij vertrouwt, onder de voorwaarde dat zij het voor zich houden. Echter die vrienden vinden het een dermate interessant feit, dat zij het graag verder vertellen aan de mensen die zij vertrouwen.

Voorbeeld

Om ons model op te bouwen begin ik met een voorbeeldsituatie:

A(lex) en B(ert) zijn huisgenoten.
Alex en E(rik) zijn beste vrienden.
Alex heeft een losse vriendin: Y(vette)
Erik is opgegroeid met U(la), en eet elke week bij haar.
Bert heeft verkering met C(hristel), zijn beste vriend heet D(irk).
Christel en Dirk kennen elkaar via Bert.
Yvette woont bij Dirk in de straat en ze komen elkaar vaak tegen in de supermarkt.
Christel en Ula doen de zelfde studie en zitten vaak in de pauze samen in de kantine.

Nu is bekend wie regelmatig met elkaar praten (fig. 1.1), alleen niet iedereen vertelt elkaar evenveel: Wie vertelt Wie, Wat?

Je zou je de volgende doorvertel-'regels' voor kunnen stellen:

V1: Je deelt geheimen over jezelf alleen met je beste vrienden.
Let op: je vertelt je verkering geen geheim over jezelf (!?) (Discutabel, maar niet ondenkbaar)
V2: Je vertelt je verkering wel geheimen over je vrienden. (Je vertrouwt elkaar wel een beetje)
V3: Je vertelt een geheim over iemand anders aan iedereen die het wil horen.
1. Niet aan degene over wie het geheim gaat (confrontatie).
2. Niet een geheim over je beste vrienden!
3. Niet een geheim over je verkering!
V4: Je vertelt een geheim over je beste vrienden alleen aan je beste vrienden.

Om deze regels mogelijk te maken moeten we in ons voorbeeld de volgende relaties onderscheiden: vriend(in) is Vr, verkering is Ve en beste vriend(in) is Bv.

Nu ziet ons voorbeeld er als figuur 1.2 uit.

Het geheim

Op een mooie avond gebeurt het volgende: Cristel zoent met een andere jongen dan Bert. En Ula ziet het gebeuren. Ula weet dat Cristel verkering met Bert heeft. Ula weet nu dus een geheim over Cristel.

Wie komen er allemaal achter dat Cristel met die andere jongen heeft gezoend?

Komt Bert er ooit achter dat Cristel hem bedrogen heeft?

Hoe komt Bert er dan achter?

Laten we eerst de relaties modelleren:

P	De verzameling van personen in de te bestuderen situatie	P = {A,B,C,D,E,U,Y}
R	de verzameling van soorten relaties in de te bestuderen situatie	R = {Vr, Ve, Bv}
(Vr, x, y)	Het feit dat x een vriend van y is.	(x,y e P)
(Ve, x, y)	Het feit dat x verkering met y heeft.	(x,y e P)
(Bv, x, y)	Het feit dat x een beste vriend van y is.	(x,y e P)
p	een feit
(geheim, p, i)	het feit dat feit p een geheim is over persoon i	(i e P)

Mogelijke aannames:

C1)	Als x een relatie heeft met y heeft, dan heeft y die relatie ook met x. (r, x, y) � (r, y, x) voor elke r e R en elke x, y e P
C2)	Als x een relatie met y heeft, dan weet x dat. (r, x, y)� K_x ((r, x, y)) voor elke r e R en elke x, y e P
C3)	Er kan maar één soort relatie bestaan tussen 2 personen.(Nee, je verkering is niet òòk je beste vriend(in)!) ∀r₁∄r₂ ((r₁, x, y) en (r₂, x, y) en r₁≠r₂) voor elke x, y e P of ∀r₁∀r₂ ((r₁, x, y) en (r₂, x, y))  r₁=r₂
C4)	Als x een relatie met y heeft, dan weet iedereen dat. (r, x, y)  K_i ((r, x, y)) voor elke r e R en elke i, x, y e P

Nu de epistemische axioma's en afleidingsregels:

A1) Alle propositiologische tautologieën

A2) (Kiφ en Ki(φ  ψ))  Ki ψ voor elke i e P

A3) Wat iemand weet is waar

Kiφ  φ voor elke i e P

A4) An agent knows that he knows something (positive introspection)

Kiφ  KiKiφ voor elke i e P

A5) An agent knows that he does not know something (negative introspection)

¬Kiφ  Ki¬Kiφ voor elke i e P

R1) φ φ  ψ Modus Ponens

R2) φ (i=1, .., m) Necessitation

Kiφ

Onze doorvertel-regels V1 tot V3 kunnen nu gedefinieerd worden:

V1) ( K_x((geheim, p, x))

en K_x((Bv, x, y)) )  K_y((geheim, p, x)) voor alle x, y e P

I.p.v. een relatie, zoals (Bv, x, y), als feit te behandelen schrijf ik in bovenstaande regel K_x((Bv, x, y)). Dit is om het persoonlijke karakter van de regels te benadrukken. Dat y volgens V1 het geheim over x weet komt omdat x persoon y als beste vriend ziet en hem/haar het geheim vertelt.

V2) ( K_x((geheim, p, y))

en K_x((Bv, x, y))
en K_x((Ve, x, z)) )  K_z((geheim, p, y)) voor alle x,y,z e P, en alle r e R.

V3) ( K_x((geheim, p, y))

en ¬K_x((Bv, x, y))

en ¬K_x((Ve, x, y))

en K_x((r, x, z))
en y≠z )  K_z((geheim, p, y)) voor alle x,y,z e P, en alle r e R.

V4) ( K_x((geheim, p, y))

en K_x((Bv, x, y))

en K_x((Bv, x, z))
en y≠z )  K_z((geheim, p, y)) voor alle x,y,z e P.

Redeneren

Voor ons model laten we C4 (Iedereen kent de relaties tussen iedereen) voorlopig achterwege. We gebruiker dus wel C1 - C3, A1 - A5, R1 en R2, en V1 - V4.

Om de vragen te beantwoorden over het geheim van Cristel, hebben we feiten over relaties nodig (deze situaties) en feiten over kennis (het geheim).

Feiten over relaties: Feiten over kennis:

(Vr, A, B) K_U((Ve, B, C))

(Bv, A, E) K_U((geheim, z, C))

(Vr, A, Y) K_C((geheim, z, C))

(Ve, B, C) (geheim, z, C)

(Bv, B, D) z

(Vr, C, D)

(Vr, C, U)

(Bv, E, U)

(Vr, Y, D)

Hierbij zijn K_U((Ve, B, C)) en z slechts voor de volledigheid vermeld.

Feit z zou in ons model "Cristel heeft met een ander dan Bert gezoend" kunnen zijn, echter onze rgels gaan over de samenstelling die het geheim vormen: (geheim, z, C).

Kripke modellen

Hieronder zal ik (schijnbaar) synchroon de ontwikkeling van het uiteindelijke Kripke model (gerelateerd aan het wel of niet waar zijn dat Cristel met een ander heeft gezoend) uitwerken.

Op het moment dat Cristel met die stoere vent begint te zoenen en voordat Ula het ziet gebeuren zou het Kripke model voor onze puzzel als volgt uit zien:

R_P de overgang voor alle personen uit P

R_P¹ de overgang voor alle personen uit P behalve Cristel

Ula ziet het gebeuren maar kan het nog niet aan anderen vertellen.

R_P² de overgang voor alle personen uit P behalve Cristel en Ula

Erik gaat bij Ula eten en zij vertelt hem het nieuwtje.

Erik belt Alex op.

R_P³ de overgang voor Bert, Dirk en Yvette.

Alex belt met Yvette en die vindt dat hij het Bert moet vertellen. En dat doet hij…

R_D de overgang voor Dirk.

Alleen voor Dirk geldt nog dat hij niet weet van het geheim:

¬K_x((geheim, p, y)) en ¬K_x(¬(geheim, p, y)

Uiteindelijk komt Dirk het via Bert of Yvette te weten, en weet iedereen uit P het geheim... (Geheim?)

Dit voorbeeld kan uitgebreid worden met meer soorten relaties (vijand, ex-vriend, familie), andere doorvertel-regels, een grotere groep en/of meerdere geheimen.

Wat ook interessant is, is de kennis die de personen uit P hebben over de relaties die er zijn binnen de groep. Deze zouden van beperkt bekend (zoals nu, iedereen kent alleen zijn eigen relaties), tot geheel bekend, als kennis in het model aanwezig kunnen zijn.

Doorvertel-regels zouden afhankelijk gemaakt kunnen worden van deze kennis.

Bijvoorbeeld:

V3) ( K_x((geheim, p, y))

en ¬K_x((Bv, x, y))

en ¬K_x((Ve, x, y))

en ¬K_x((Bv, z, y))

en K_x((r, x, z))
en y≠z )  K_z((geheim, p, y)) voor alle x,y,z e P, en alle r e R.

Je vertelt een geheim niet aan een persoon waarvan je weet dat het de beste vriend is van de persoon waarover het geheim gaat.

Misschien is het verstandig om jouw eigen vriendengroep eens te modelleren volgens bovenstaande regels, om te kijken hoe veilig je geheimen zijn!

(advies: als je wilt dat iets ECHT geheim blijft, vertel het dan aan helemaal niemand: V1 vervalt)